| 最近在研读离散数学，关于限定域( Restricted Domain)的谓词表示方式，查到知乎上有一个问答在讨论这个问题，我觉得有必要再解答一下，因为我也思考了很久才得出的理解，所以形成了这篇回答：《离散数学中，为什么在表示“所有人···”的时候使用蕴涵式，在表达“有的人···”的时候使用合取式？》，摘录如下 1，首先要强调论域，采用其中一个回答者给的statement “对班上每一个学生x，x学过微积分”，论域是班上的学生，表达成∀xC(x) 现在看另一个statement，扩大论域 “对每个人x，如果x是班上的学生，那么x学过微积分”，论域是扩大了，我们说这个应该表达成∀x(S(x) -> C(x)) 2，接下来，我们问为什么要表示成->，而不是∧ 我们知道，要证明∀xP(x)这样的命题不成立，只要找一个反例conterexample。如果是程序员，应该是很熟悉，在一个loop中，只要遇到一个false我就跳出loop，这里也是一样。 好，我们找反例，如果有个x，S(x)不成立，因为论域是所有人，这是允许的，如果S(x)是false的时候我们要看看是不是一个反例，也就是说，要看看∀xP(x)这个形式的命题是不成立的。如果P(x) 是 S(x)∧C(x)的话，毫无疑问，就找到了一个反例。而如果P(x)是S(x) -> C(x)的时候，x不是这个班的（这是合法的，因为论域是所有人），S(x)是false，而S(x) -> C(x)是true，那么x就不是一个反例 以上我说的，并没有证明一定要用 ∀x(S(x) -> C(x))，但是证明了不能用 ∀x(S(x) ∧ C(x)) |
