很多文章或者教程一开始就提到判别矩阵是“正互反矩阵”以及一堆特性，这样白白增加了畏惧感，增大了理解的阻力。那么，正确的做法是：从层次分析法的判别矩阵的生成过程来理解，先忽视“互反”这些令人畏惧的字眼。下面讲解一下这个算法是什么原理，也想说明一下，可以完全忽视矩阵和线性代数的一些知识，本来就没有太大关系。 我在这篇文章讲解了判别矩阵的生成方法：《JupyterNotebook做层次分析法(AHP)权重计算》。可作为参考。 我一直把层次分析法说成是用定性的方法生成定量的结果，比如，面对一堆蔬果，手边却没有称，想量化确定每种蔬果对总重量的贡献要靠估计。比如，有西瓜、黄瓜、萝卜、冬瓜、南瓜，那么可以用两只手掂量掂量，得到每两者的重量的比例，感觉像是定性的分析。 不去纠结定性还是定量，但是，有一点要特别注意：掂量出来的是一个比值，假设左手拿的西瓜作为基准，那么右手掂量出来黄瓜的值是1/5，这个值是要写到判别矩阵中的，所以，矩阵中的值是个比值，一般被称为层次分析法的标度（参看百度百科的词条 层次分析法 ）。 我们给上面举例的那些蔬果的重量编个编号，就是：w1, w2, w3, w4, w5，这是我们要算出来的结果，他们代表对总重量的贡献。 而我们掂量出来的是比值，那么可以看到：如果w2代表黄瓜的贡献，我们要求出来w2，而已经知道了黄瓜与其他的比值，那么有下面的等式成立：
a21表示以1（西瓜）为基准掂量出来2（黄瓜）的层次分析法标度，也就是2的贡献是1的多少倍。那么再乘以1的贡献w1，就是2的贡献w2。所以，上面每一项的结果都是w2，那么，这个等式就是这样了
我们对这5种蔬果都写成（1）式的形式，并放在一起，就是这样
那么把系数写成矩阵形式，就是判别矩阵A
其中，a11, a22, a33, a44, a55是自己跟自己比，所以，肯定是1。那么，aij表示以第j个要素为基准得到的第i个要素的相对重要度。也就是说，看A矩阵的每一列，都是以某个要素作为基准，其他要素跟这个要素相比得到的相对重要度。 那么写成矩阵和向量相乘形式，就是
根据（2）式我们知道，Y的每个分量都等于w的对应分量乘以一个常数，我们用lambda表示这个常数，那么上式变成：
很显然，上式跟求矩阵的特征值和特征向量的等式一模一样。 这就是为什么要为判别矩阵求特征值和特征向量。就是因为样子一模一样而已，可以把算法借用过来，其实，跟线性代数将的线性变换几乎看不到任何关系。 当然，这是极其完美的理想情况，手掂量的太准了，体现在多个方面： （1）第一列、第二列、第二列……，虽然矩阵中的值不同，其实只是总体差了一个倍数，比如，把第二列乘以w2并除以w1，就等于第一列。那么整个矩阵中只有第一列才提供了有效信息，其他都是多余的列。这就是所谓的矩阵秩为1. （2）手掂量出来的相对重要度是无限精度的实数，所以，对角线两边对称的数字乘在一起得1，这就是所谓的互反。 有这么准的一双手，根本不用求特征向量，第一列拿出来就是了。 但是实际上手不可能那么准，人类也不可能操控无限精度的实数，同时计算过程一定会引入误差。既然这么不理想，那么就进一步，防止有人瞎猫碰上死老鼠，自以为很专业，就把标度值搞成一些奇怪的数字，让他们相除得不到刚好的标度值，例如，假设 w1 = 1, w2 = 3, w3 = 5, w4 = 7, w5 = 9，做第一列估计的时候，很好，a21=3, a31=5, a41=7, a51 = 9。做第二列估计的时候，a12直接拿过来是 1/3没问题，而a32就有问题了，应该是 5/3 ，而标度表里面没有 5/3 ，看来只能取值为1，最接近。 个人认为，这是为了防止人为误差的引入，同时让误差分布更均匀，类似于用质数计算散列值。这个本人的猜测，不一定对。 可见，由于各种误差，造成各要素的测量就有了互相“牵扯”，本来两个要素的比重之比是3/5，是清楚和准确的，却把比值测量成了1/3，引入了不必要的牵扯。此时，求特征值就能摈除牵扯而找到最根本的关系（按照线性空间的理论，坐标系没有对准，需要旋转调整一下，调整到特征向量组成的坐标系中，各要素的测量值才能不相互牵扯）；而且由于各种误差，就需要用CI值考核估计的是否一致。因为无法掂量很准，同时又故意引入一个特别的标度表，那么CI永远不可能是0 。 |
